（上一章大段重复，发不出来，分两段）。
巨大基数：V中存在一个初等嵌入j:V→M从V到一个具有临界点K的可传递内模型，那么这个它就是所谓的巨大基数，也就是j(K)M?M。
伍丁基数：(在强基数后)
f:λ→λ存在一个基数κ＜λ和{f(β)|β＜κ}和基本嵌入j : V→M来自冯诺依曼宇宙V进入可传递的内部模型M和临界点κ和V_j(f）(κ)?M一个等效的定义是这样的：
λ是伍丁当且仅当λ对所有λ来说都是非常难以接近的
A?V_λ存在一个λ_A＜λ这是＜λ-A-strong的
超强基数：当且仅当存在基本嵌入 j ：V→M从V到具有临界点κ和V_j(κ)?M
类似地，基数κ是n-超强当且仅当存在基本嵌入j : V→M从V到具有临界点κ和V_jn(κ)?M 。
Akihiro Kanamori已经表明，对于每个n＞0，n+1-超强基数的一致性强度超过n-huge 基数的一致性强度。
强紧致基数：当且仅当每个κ-完全滤波器都可以扩展为κ-完全超滤器时，基数κ是强紧凑的。
强紧基数最初是根据无限逻辑定义的，其中允许逻辑运算符采用无限多的操作数。常规基数κ的逻辑是通过要求每个运算符的操作数数量小于κ来定义的；那么κ是强紧致的，如果它的逻辑满足有限逻辑紧致性的模拟。具体来说，从其他一些陈述集合中得出的陈述也应该从基数小于κ的某个子集合中得出。强紧性意味着可测性，并被超紧性所暗示。鉴于相关基数存在，与ZFC一致的是第一个可测基数是强紧基数，或者第一个强紧基数是超紧基数；然而，这些不可能都是真的。强紧基数的可测极限是强紧的，但至少这样的极限不是超紧的。强紧性的一致性强度严格高于伍丁基数。一些集合论学家推测强紧基数的存在与超紧基数的存在是等一致的。然而，在开发出超紧基数的规范内模型理论之前，不太可能提供证明。可扩展性是强紧凑性的二阶类比。
超紧致基数：如果M?M，则称κ为λ超紧基数；如果对任意为λ≥κ，κ为λ超紧基数，则称k为超紧基数。
若κ是超紧基数，则存在κ个小于k的超强基数。
假设N是一个ZFC的模型, δ是一个超紧基数, 如果对任意λ＞δ, 存在Pδ (λ) 一个δ-完全的正则精良超滤U满足
1:Pδ（λ）∩N∈U;
2:U∩N∈N，
就称N是关于δ是超紧基数的弱扩张子模型 (weak extender model) 。κ为λ-超紧致基数是指存在满足以下条件的j:V→M成为其临界点:λM?M.j(κ)＞λ.
κ为超紧基数是指对于任意λ≥κ，λ-超紧。
伊卡洛斯基数：存在一个L(V_λ+1，lcuras)非平凡基本嵌入，其临界点低于λ，伊卡洛斯存在于V_λ+2-L(V_λ+1)。
完整性公理|3~|0
|3：存在Vλ到自身的非平凡基本嵌入也就是存在非自明初等嵌入j:Vρ→Vρ。
|2：V存在一个非平凡基本嵌入到包含Vλ的传递类M，入为临界点上方的第一个不动点，也就是， 非自明初等嵌入j:V→M，存在满足vρm且超过j临界点的最小不动点为ρ的情况。
|1：Vλ+1到自身的非平凡基本嵌入也就是存在非自明初等嵌入j:Vρ+1→Vρ+1。
|0：存在L(Vλ+1)的非平凡基本嵌入，其临界点＜λ公理。
也就是存在非自明初等嵌入j:L(Vρ+1)→L(Vρ+1)。
以下更大的巨大基数的性质被选择公理所否定，但它们的存在不能只在策梅罗-弗伦克尔公理系统(即不使用选择公理ZF )中否定。
莱因哈特基数：莱因哈特基数Reinhardt基数是非平凡基本嵌入的临界点j : V→V的V进入自身。
这个定义明确地引用了适当的类j.
在标准ZF中，类的形式为{x|Φ(x,a)}对于某些集合a和公式Φ.但是在 Suzuki中表明没有这样的类是基本嵌入j ：V→V.还2有其他已知不一致的Reinhardt基数公式。一是新增功能符号j用ZF的语言，连同公理说明j是的基本嵌入V，以及所有涉及的公式的分离和收集公理j.另一种是使用类理论，如NBG或KM，它们承认在上述意义上不需要定义的类。又或是有一个公理主张存在被称为Reinhardt基数的基数。
这个基数公理在普通集合论的公理系统ZFC中不能很好地表达，例如，需要考虑可以把真正的类作为理论对象来处理的ZFC的扩展，但是基数κ为reinhardd 在某个集合论的universe对自己的初等映射j中，存在κ为j(κ)≠κ的最小顺序数的情况。
这个基数的概念引入后不久，这样的基数的存在与集合论的扩展相矛盾(即， ZFC的这样的扩张和主张Reinhardt基数存在的公理相结合的体系是矛盾的，或者ZFC的这样的扩张可以作为定理证明Reinhardt基数的不存在)。
为了能够记述在以下叙述的Reinhardt基数的定义中j的存在主张，需要那样的扩展。对于某语言l，从L-结构m到L-结构n的映射f是初等的( elementary )是指，对于所有m的要素的组a0，...，an 1和所有谓语逻辑中的L-逻辑式( x0，...，xn1 )，m = ( elementary )
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